量子位元(上):量子計算的基本單位

作者:
林昱誠(Yu-Cheng Lin)
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# 量子位元 在前一篇文章中,我們使用線性代數描述經典計算。現在,我們將延伸這些概念,帶大家深入認識量子計算。 經典電腦最基本的單位是 bit,而在量子電腦中,最基本的單位,我們稱之為 quantum bit,簡稱 qubit。 ## Qubit 如同 bit,qubit 也可以攜帶 0 或 1 的資訊。Qubit 的狀態(稱作量子態,quantum state)可以用 [Dirac 表示法](https://www.entangletech.tw/lesson/math-02) 和矩陣描述: \begin{split} |0\rangle= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \qquad |1\rangle= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \end{split} 與 bit 不同的是,qubit 不僅限於單純的 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$,qubit 可以處於 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的疊加態,用數學表示: \begin{split} \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle= \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix} \end{split} 其中, $\alpha$ 與 $\beta$ 是機率幅(probability amplitudes),它們的絕對值平方(absolute value squared)代表 qubit 被測量後處於 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$ 的機率。不同於經典 bit,機率幅只能是 0 或 1,qubit 的機率幅可以是任何數字,還可以是負數和複數(含虛數 $i$),無論如何,所有狀態的機率加總起來一定會是 1: \begin{split} |\alpha|^2+|\beta|^2=1 \end{split} ## 機率 假設一個 qubit 的量子態 $|\psi\rangle$為 \begin{split} |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle \end{split} 這代表 qubit 處於 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$ 的疊加態(superposition),測量這 qubit 後,有 50% ($|\frac{1}{\sqrt 2}|^2$)的機率會看到 qubit 處於 $|0\rangle$,有 50% 的機率看到 $|1\rangle$。這種在測量前處於疊加態,測量後,疊加態消失,只出現所有可能狀態的其中一種,這種現象稱之為「波函數塌縮」。
量子燈泡

在測量前(左上圖),量子燈泡同時處於暗與亮的疊加態,測量後(左下長條圖)有 50% 的機率看到是亮或是暗;測量後,量子燈泡會塌縮成暗或是亮(右圖),對觀察者而言,量子燈泡已經完全確定是亮或暗(右下長條圖)

用一個簡單但不精確的例子來說明:當你晚上沒有看月亮時,月亮其實處於所有可能位置的疊加態,每當你仰望天空,這些位置的機率便會立刻塌縮到你看到的月亮。 如果 qubit 的量子態 $|\psi\rangle$ 是 \begin{split} |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle \end{split} 這裡的負數不代表「負的機率」,而是像「波」一樣,負的機率幅會與正的機率幅發生破壞性干涉。測量後,依然有 50% 的機率看到 qubit 處於 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$,而總機率依然是: \begin{split} |\frac{1}{\sqrt 2}|^2+|-\frac{1}{\sqrt 2}|^2=1 \end{split} 當 qubit 的量子態 $|\psi\rangle$為 \begin{split} |\psi\rangle=\frac{1+2i}{3}|0\rangle-\frac{2}{3}|1\rangle \end{split} 式子中虛數的意義與由來可以參考量子力學或量子物理教科書,這不是一篇就能講完的內容。處於這狀態的 qubit 在測量後會是 $|0\rangle$ 的機率為 \begin{split} |\frac{1+2i}{3}|^2&=(\frac{1+2i}{3})(\frac{1+2i}{3})^* \\ &=\frac{1+2i}{3} \frac{1-2i}{3} \\ &=\frac{5}{9} \end{split} 在測量後,有約 55.56% 的機率看到 qubit 處於 $|0\rangle$。
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