# 第二題Quantum Random Walks and Localizaion
在這個練習中我們模擬一個有五個位置的緊束縛晶格，首先我們看這個緊束縛的哈密頓量，其中每個位置的能量都相等，做為提醒具有五個位置的緊束縛晶格的哈密頓量是:
$$\frac{H_{tb}}{ℏ}=J\sum_{i=0}^{3}(X_iX_{i+1}+Y_iY_{i+1})$$
緊束縛系統中的粒子傳遞可以用連續時間的量子隨機行走模擬。
量子隨機行走是量子力學，量子隨機行走是粒子從開始點隨機移動的過程，古典隨機行走中，粒子隨著時間 t在位置 r 的機率是是依照著高斯分布。
$$p_{classical}(r,t)\propto e^{\frac{-\vert r\vert^2}{t}}$$
標準的機率偏差分布隨著時間變動: $σ_{classical}=\sqrt{t}$，量子的性質就像單粒子疊加和干涉的結果，這就是為甚麼導致量子隨機行走跟古典隨機行走不同的原因。
量子隨機行走，我們要找粒子從起點移動到在位置 $r$ 的機率跟隨 Bessel Function
$$p_{quantum}(r,t)\propto \vert J_r(2t)\vert^2$$
粒子在晶格空間中相對起點的傳遞是被平方平均位移量化的 $(x^2 )=∑_ip_i x_i^2$ 其中 $p_i$ 是粒子在位置 $i$ 的機率，一個古典隨機行走的傳遞在時間 $(x^2 )∝t$，QRW 展示了具有均方位移 $(x^2 )∝t2$ 的彈道傳播，這個次方的速度提升跟 Grover 演算法都是相像的!
### *2-a Append the XX and YY gates to our circuit to create a trotterize time evolution under the tight-binding Hamiltonian.*
```python=1
num_qubits = 5 ## DO NOT EDIT
Trot_tb_qr = QuantumRegister(num_qubits)
Trot_tb_qc = QuantumCircuit(Trot_tb_qr, name='Trot')
###EDIT CODE BELOW
for i in range(4):
if i ==0:
Trot_tb_qc.append(YY,[i,i+1])
Trot_tb_qc.append(XX,[i,i+1])
if i ==2:
Trot_tb_qc.append(YY,[i,i+1])
Trot_tb_qc.append(XX,[i,i+1])
for i in range(4):
if i ==1:
Trot_tb_qc.append(YY,[i,i+1])
Trot_tb_qc.append(XX,[i,i+1])
if i ==3:
Trot_tb_qc.append(YY,[i,i+1])
Trot_tb_qc.append(XX,[i,i+1])
###DO NOT EDIT BELOW
Trot_tb_gate = Trot_tb_qc.to_instruction()
Trot_tb_qc.draw()
```
這題要解決的關鍵是我們要用前面了解到的trotterizated circuit去完成，但在要成功得完成這一項問題是要根據前面得公式，
$$U(\Delta t)\approx(\prod_{i∈odd}e^{-i\Delta tX_iX_{i+1}}e^{-i\Delta tY_iY_{i+1}})(\prod_{i∈even}e^{-i\Delta tX_iX_{i+1}}e^{-i\Delta tY_iY_{i+1}})$$
前面得公式有提到奇偶的問題，所以要考慮到奇偶的順序問題。
#### *2b Next, we want to add a particle in the form of an excitation to qubit 0. This can be accomplished by applying an 𝑋 gate to flip the state of the qubit from |0⟩ to |1⟩ before time evolution under the Hamiltonian.*
```python=+
delta_t=0.15 # DO NOT EDIT
time_steps=np.arange(1,20,1) # DO NOT EDIT
circuits=[]
for n_steps in time_steps:
qr = QuantumRegister(num_qubits)
cr = ClassicalRegister(num_qubits)
qc = QuantumCircuit(qr,cr)
###EDIT CODE BELOW
qc.x(0)
###DO NOT EDIT BELOW
for _ in range(n_steps):
qc.append(Trot_tb_gate, [i for i in range(num_qubits)])
qc = qc.bind_parameters({t: delta_t})
circuits.append(qc)
```
這題就比較簡單只要根據題目要的放入Ｘ閘即可
## Anderson localization
粒子的傳遞被混亂的能量影像將會導致 Anderson 定位
晶格的不均勻性導致散射跟量子干涉，這往往抑制粒子傳遞，這是一個局部化的特徵。
這個局部的波函數將從起點迅速遞減，有效的限制粒子在晶格的小區域。飛利浦安格森在1958第一個發表無序的晶格散射是可以使粒子傳播完全停止。
在安格森之前的研究，科學家將水晶無序的見磨成隨機的電子散射擾動，把電子視為一個點粒子，這個邏輯導致對布朗運動等介質中的描述，這是歐姆定律的基礎，然而安格森重新審視無序的在其他週期性的晶體中電子傳遞演化對波函數的影響。
安格森分析了量子體制的問題，因此從根本上解釋了電子的波動性，並發現電子的經典擴散運動在廣泛的條件下隨著電子波函數的指數局部化而分解。
當電子一開始被放在一個原子上，他的波函數將隨著時間推移不再擴大到整個晶體了，但是他還是會持續再起點附近。
因此這個材料將停止導電成為絕緣體，這種局部化現像是由晶格缺陷對電子的多次散射引起的不同路徑之間干涉的直接結果，我們可以使用緊束縛哈密頓量研究安格森局部化，在位點能量無序的情況下，Hamltonian 採用以下形式：
$$\frac{H_{tb}}{ℏ}=\sum_{i=0}^{3}(X_iX_{i+1}+Y_iY_{i+1})+\sum_{i}\epsilon_i Z_i$$
#### *2c First, extract the probabilities of each qubit being in the |1⟩ at different times using the output state from the statevector_simulator.*
這題的解決方法是提取出statevector_simulator計算後|1⟩的機率
