量子邏輯閘（下）：量子邏輯閘的特性

# Quantum gate 的特性我們在[古典邏輯閘](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-04)一節中，提過古典邏輯閘的兩大特性，分別是 universal gates 和 reversible gates。這一節我們將探討 quantum gate 的這兩種特性。 ## Universal gates（通用邏輯閘）類似古典電腦的概念，量子電腦也有「通用邏輯閘」的概念，即我們能否只用少數幾個 quantum gate 組合出所有的 quantum gate。那麼，什麼樣性質的 quantum gate 可以構成通用邏輯閘集合呢？ 1. 能製造疊加態：首先，必須有 quantum gate 能讓 qubit 表達 Bloch sphere 球面上任何資訊。在所有的 [one qubit gate](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-08) 中，只有 H gate 能做到 2. 能製造糾纏態：但 one qubit gate 無法製造糾纏態，因此集合中至少需要有能創造糾纏態的 gate，如 CNOT gate 3. 能操作複數機率幅：從 CNOT 和 H gate 的矩陣不難看出，它們對機率幅的影響只限定在實數範圍，無法對虛數做調整，因此至少還需要有個 [phase shift gate](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-08) 綜合以上，$\{\text{CNOT}, H, S\}$ 是一組可行的通用量子閘集合，這組集合稱作 Clifford group。然而，根據 Gottesman-Knill 理論，這三種 quantum gate 的行為可以很有效地用現在的電腦模擬，意味著，Clifford group 展現出來的計算能力就跟你眼前的電腦一樣，代表 universal quantum gate 還需要再加入其他 quantum gate。 ### universal gate sets 的範例以下是一些量子電腦的 universal gate 集合： 1. $\{\text{CNOT},\text{所有的 one qubit gate}\}$ 2. $\{\text{CNOT},H,T\}$：跟 Clifford group 很像，只是將 S gate 換成 T gate 3. $\{\text{CNOT},R_{\frac{\pi}{8}},S\}$ 4. $\{\text{Toffoli},H,S\}$ 因此，一臺好的量子電腦，至少至少要能夠做執行這些 gate，然後通過這些 gate 組合出其他所有的 quantum gate。 ## Reversible gates（可逆邏輯閘）我們前面提及在古典電腦中，大多數邏輯閘是不可逆的，這意味著在計算過程中會丟失訊息，並以熱能的形式散發到環境中。然而 quantum gate 則不同，它們都是 [unitary](https://www.entangletech.tw/lesson/math-07) 矩陣，滿足以下條件： \begin{split} U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=I \end{split} 這代表說可以 gate 的輸出值對應為一一個輸入值，不會丟失訊息，也不會消耗能量。 ## No-Cloning Theorem（不可複製理論）這不算是 quantum gate 的特性，是量子計算的重要性質之一。在經典電腦中，我們可以很輕易地複製某個位元的巡席到另一個位元，然而，在量子計算中，我們無法複製 qubit 的訊息，這就是不可複製理論。例如，有兩個 qubits，第一個先做 H gate 操作，我想複製第一個 qubit 的量子態到第二個 qubit，讓兩個 qubits 的量子態是一樣的

先對第一個 qubit 做 H gate 操作，接著我們想複製第一個 qubit 的量子態到第二個 qubit

很顯然，就是對第二個 qubit 做 H gate 操作，但這是因為我們已經知道第一個 qubit 做 H gate 後是什麼狀態。

這樣做，就是把第一個 qubit 的狀態複製到第二個 qubit

如果有個 qubit 的量子態 $|\psi\rangle$ 是未知，我們該如何複製他的量子態？即 \begin{split} |\psi\rangle|0\rangle\rightarrow |\psi\rangle|\psi\rangle, \quad \text{其中}\quad |\psi\rangle= \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle \end{split} 有沒有什麼 quantum gate $U$ 能讓我們做到這件事，即 \begin{split} U|\psi\rangle|0\rangle=|\psi\rangle|\psi\rangle \end{split}

有什麼量子閘 U 可以把 q0 的量子態複製到 q1

因為這邊涉及 2 個 qubits，所以 $U$ 會是個 $4\times 4$ 的矩陣，將上式以矩陣做描述： \begin{split}U|\psi\rangle|0\rangle&= \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & u_{34} \\ u_{41} & u_{42} & u_{43} & u_{44} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}\otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=|\psi\rangle|\psi\rangle= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}\otimes \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \\ &=> \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & u_{34} \\ u_{41} & u_{42} & u_{43} & u_{44} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ 0 \\ \beta \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \alpha^2 \\ \alpha\beta \\ \alpha\beta \\ \beta^2 \end{bmatrix} \end{split} 把它解開後，可以找到這樣的關係： \begin{split} u_{11}=\alpha & \quad u_{13}=0 & \quad u_{21}=0 \quad u_{23}=\alpha\\ u_{31}=0 & \quad u_{33}=\alpha & \quad u_{41}=0 \quad u_{43}=\beta \end{split} 然而，我們得知道 $\alpha$ 和 $\beta$ 是什麼才能解出需要什麼 gate $U$，而 $\alpha$ 和 $\beta$ 就是未知，因此沒有任何 gate 能讓我們複製一個未知量子態的 qubit。