# 正交（Orthogonality）
在線性代數中，Orthogonality（正交）是一個非常重要的概念，它直觀的描述了向量之間的垂直關係，其在多個領域如數學、物理學、工程學等都有廣泛的應用。
## 定義
在線性代數中，如果兩個向量的內積為 $0$，則這兩個向量的關係稱為 orthogonality，以幾何的語言做說明，就是這兩個向量互相垂直。
以一維向量為例，今天空間中有兩個一維向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，它們的 orthogonality 條件是：
\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\end{split}
現在我們將其推廣到二維空間中，二維向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的 orthogonality 條件是：
\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1+a_2b_2 = 0
\end{split}
範例：
假設 \(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec{b}=(0,1)\)，則
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = [1,0] \cdot
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
= 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0
\]
代表這兩個向量互相垂直（即 orthogonality）
當兩個向量內積為 0 時，代表這兩個向量互相垂直，也就是 "orthogonal"
同理，在N維空間中，Ｎ 維向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的正交條件是：
\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1+a_2b_2\ \ ... \ +a_Nb_N = 0 \end{split}
此處的 $a_1,a_2,a_3$ ... $a_N$ 和 $b_1,b_2,b_3$ ... $b_N$ 分別為 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 兩個向量在 $N$ 維空間上的分量，即：
\begin{split}\vec{a}=(a_1,a_2,a_3,...,a_N)\end{split}
\begin{split}\vec{b}=(b_1,b_2,b_3,...,b_N)\end{split}
# 在量子計算上的應用
在量子計算中，我們會需要測量與考慮粒子的自旋狀態，包含垂直方向和水平方向的自旋。用於測量自旋的數學模型將使用正交歸一化基底（orthonormal basis）來描述。與前文所述不同之處在於，數學上我們不使用字母來命名此處基底中的向量，而是使用箭頭。而箭頭的指向則是取決於粒子自旋的方向。以下是常見的自旋基本向量：
\begin{split}
|⭡\rangle \ =
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
|⭣\rangle\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}\end{split}
從上式可以清楚看到 $| ⭡ 〉$ 與 $| ⭣ 〉$ 互為 orthogonal，$| ⭢ 〉$與 $|⭠ 〉$ 也互為 orthogonal
$\langle⭡|⭡\rangle=1$, $\langle⭣|⭣\rangle=1$, $\langle⭡|⭣\rangle=0$, $\langle⭣|⭡\rangle=0$
$\langle⭢|⭢\rangle=1$, $\langle⭠|⭠\rangle=1$, $\langle⭢|⭠\rangle=0$, $\langle⭠|⭢\rangle=0$
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