範例:
\begin{split}A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\space \text{and}\space B= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{split} 則 \begin{split} A\otimes B &= \begin{bmatrix} 0B & 1B \\ 1B & 0B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{split}
## 在量子計算中的應用
在量子計算中，Tensor product 可以描述多個量子位元（Qubits）的狀態。當我們有兩個 qubits 時，每個 qubits 的狀態可以用一個向量來表示，我們可以透過 tensor product 將兩個向量整合成用一個向量表達。
例如，qubit A處於狀態 $|0\rangle$ 表示為：
\begin{gather}|Q_A\rangle=
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{gather}
qubit B 處於狀態 $|1\rangle$ 表示為
\begin{gather}|Q_A\rangle=
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{gather}
今天我如果要同時表達這兩個 qubits 的狀態，就要用這樣的數學符號做表示：
\begin{gather}|0\rangle \otimes |1\rangle =|0\rangle|1\rangle=|01\rangle\end{gather}
要改用矩陣表達時，就要用 tensor product：
\begin{gather}
|Q_A\rangle \otimes |Q_B\rangle = |0\rangle \otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{gather}
這個四維向量代表一個二 qubits系統的狀態。
\begin{split}A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\space \text{and}\space B= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{split} 則 \begin{split} A\otimes B &= \begin{bmatrix} 0B & 1B \\ 1B & 0B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{split}
本文章採用創用 CC「姓名標示-相同方式分享 4.0 國際」授權條款
