量子邏輯閘（上）：單一量子位元操作

# 量子邏輯閘（單 Qubit）在上一節中，我們介紹如何用矩陣描述單一個 qubit 的量子態，與經典電腦相似，我們可以使用邏輯閘改變 qubit 的狀態。在量子計算中，這些邏輯閘稱作「量子閘」（quantum gate 或 quantum logical gate）。在這一節，我們先著重在只能改變一個 qubit 狀態的 quantum gate。

## 常見的單 qubit 量子閘（single qubit quantum gate） ### Identity gate（I gate）

I gate 的符號

I gate 使用符號 $I$ 表示，類似經典電腦中的 identity gate，輸入什麼就輸出什麼： \begin{split} I|0\rangle=|0\rangle \\ I|1\rangle=|1\rangle \end{split} 以矩陣表示 \begin{split} I= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{split} 可以做個簡單的驗證 \begin{split} I|0\rangle= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\\ I|1\rangle= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{split} ### X gate X gate 相當於經典邏輯閘中的 NOT gate，符號為 $X$：

以上這兩個都是 X gate 的符號

以矩陣表示： \begin{split} X= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{split} X gate 會將 $|0\rangle$ 變成 $|1\rangle$，將 $|1\rangle$ 變成 $|0\rangle$ \begin{split} X|0\rangle = |1\rangle\\ X|1\rangle = |0\rangle \end{split} 對處於疊加態的 qubit $|\psi\rangle$ 做 X 操作會是： \begin{split} X|\psi\rangle &= X(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)\\ &=\alpha X|0\rangle+\beta X|1\rangle\\ &=\alpha|1\rangle+\beta|0\rangle \\ &=\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle \end{split} 有時候會把 X gate 寫成這樣 \begin{split} X=|0\rangle \langle 1|+|1\rangle \langle 0| \end{split} 做個簡單的驗證 \begin{split} X|0\rangle &= (|0\rangle \langle 1|+|1\rangle \langle 0|)|0\rangle \\ &=|0\rangle \langle 1|0\rangle+|1\rangle \langle 0|0\rangle \\ &=|0\rangle 0+|1\rangle1 \\ &=|1\rangle \end{split} 很明顯地，連續做兩個 X gate 操作，qubit 狀態會變回原本的狀態，因為 \begin{split} XX|\psi\rangle&= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} |\psi\rangle \\ &=I|\psi\rangle \\ &=|\psi\rangle \end{split} ### Y gate

Y gate 的符號

Y gate 的矩陣為： \begin{split} Y= \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix}=i \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{split} 也可以寫成這樣 \begin{split} Y=i(|1\rangle \langle 0|-|0\rangle \langle 1|) \end{split} Y gate 將 qubit 從 $|0\rangle$ 變成 $i|1\rangle$，將 $|1\rangle$ 變成 $-i|0\rangle$： \begin{split} Y|0\rangle &= i|1\rangle\\ Y|1\rangle &= -i|0\rangle \end{split} 對一個處於疊加態的 qubit $|\psi\rangle$ 做 Y 操作後： \begin{split} Y|\psi\rangle &= Y(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)\\ &=i\alpha|1\rangle-i\beta|0\rangle \\ &=-i\beta|0\rangle+i\alpha|1\rangle \end{split} 我們把機率幅做絕對值平方後做加總，看總機率會是多少 \begin{split} |-i\beta|^2+|i\alpha|^2&=(-i\beta)^* (-i\beta)+(i\alpha)^* (i\alpha)\\ &=(i\beta^* ) (-i\beta)+(-i\alpha^*) (i\alpha) \\ &=\beta^* \beta+\alpha^* \alpha \\ &=|\beta|^2+|\alpha|^2 \\ &=1 \end{split} 總機率仍然會是 100%。 ### Z gate

Z gate 的符號

以矩陣表示 \begin{split} Z= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \end{split} 也可以寫成這樣 \begin{split} Z=(|0\rangle \langle 0|-|1\rangle \langle 1|) \end{split} 它對 qubit 的影響 \begin{split} Z|0\rangle &= |0\rangle\\ Z|1\rangle &= -|1\rangle \end{split} 對一個處於疊加態的 qubit $|\psi\rangle$ 做 Z 操作會是 \begin{split} Z|\psi\rangle &= Z(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)\\ &=\alpha|0\rangle-\beta|1\rangle \end{split} ## Pauli gate 以上 X, Y, Z gate（有些人會算把 I gate 也算進來）統稱為 Pauli gate，這是因為這三個矩陣剛好對應量子力學中 $SU(2)$ 群的 generator。

不了解 SU(2) 與 generator 並不影響往後的閱讀，這已經到量子場論程度，有興趣的讀者可以參看 Lie algebra

以下是這三個 gate 的關係 \begin{split} X^2&=Y^2=Z^2=I \\ Y&=iXZ \\ XY&=-YX \\ ZY&=-YZ \\ XYX&=iZX=-Y \end{split}

可以自己在紙上，用矩陣做證明

\begin{split} XZ&=-ZX \\ ZXZ&=-X \\ ZYZ&= -Y \\ ZZZ&=Z \end{split} ## Hadamard gate (H gate) Hadamard gate 是量子計算中最常用到的 gate 之一，常常會是電路中第一個用到的 gate。

H gate 的符號

H gate 以矩陣表示 \begin{split} H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} =\frac{1}{\sqrt 2}(X+Z) \end{split} 也可以寫成這樣 \begin{split} H&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 0|+|0\rangle\langle 1|-|1\rangle\langle 1|)\\ &= \frac{1}{\sqrt 2} \sum_{x,y\in \left\{ 0,1 \right\}} (-1)^{x\cdot y}|x\rangle\langle y| \end{split}

最後一條式子看不懂的話，可以將 x 與 y 一個一個代入 0 或 1

H gate 會將 qubit 從 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$ 變成疊加態： \begin{split} H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|+\rangle\\ H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|-\rangle \end{split} H gate 會將 qubit 從 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$ 進入疊加態。上式還可以簡寫成： \begin{split} H|u\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+(-1)^u|1\rangle) \qquad \text{where}\quad u\in\{0,1\} \end{split} 可以將 $u$ 代 $0$ 或 $1$ 進上式驗證看看。當對疊加態（如 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$）做 H gate 操作時，會： \begin{split} H|+\rangle&=H\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}(H|0\rangle+H|1\rangle) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}[\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)+\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)] \\ &=\frac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle+|0\rangle-|1\rangle)\\ &= |0\rangle \end{split} 這是因為 \begin{split} H|+\rangle&=HH|0\rangle \\ &=I|0\rangle \\ &=|0\rangle \end{split} 同理 \begin{split} H|-\rangle&=HH|1\rangle\\ &= |1\rangle \end{split} 另外 \begin{split} H^2&=I \\ HXH&=Z \\ HYH&= -Y \\ HZH&=X \end{split} ## Phase shift gate 下面要介紹的兩個 gate，與 Z gate 合稱為 phase shift gate。因為他們不會影響 qubit 的量子態本身，只會改變量子態的相位（機率幅的負數或虛數） ### S gate 又稱為 phase gate，連續做兩個 S gate 就是 Z gate

S gate 的符號

\begin{split} S&= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{bmatrix}= \sqrt{Z} \\ &= e^{\frac{\pi}{4}} \begin{bmatrix} e^{-i\frac{\pi}{4}} & 0\\ 0 & e^{i\frac{\pi}{4}} \end{bmatrix} \end{split} 因此又稱為 $R^Z_{\frac{\pi}{2}}$ gate，或 $\frac{\pi}{4}$ gate。它對 qubit 的影響： \begin{split} S|0\rangle = |0\rangle\\ S|1\rangle = i|1\rangle \end{split} 其中 \begin{split} SXS^{\dagger}=Y \\ SYS^{\dagger}=-X \\ SZS^{\dagger}=Z \end{split} ### T gate

T gate 的符號

又稱為 $\frac{\pi}{8}$ gate，連續做兩個 T gate 就是 S gate \begin{split} T&= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\frac{\pi}{4}} \end{bmatrix}= \sqrt{S} \\ &= e^{\frac{\pi}{8}} \begin{bmatrix} e^{-i\frac{\pi}{8}} & 0\\ 0 & e^{i\frac{\pi}{8}} \end{bmatrix} \end{split} 它對 qubit 的影響： \begin{split} T|0\rangle = |0\rangle\\ T|1\rangle = e^{i\frac{\pi}{4}}|1\rangle \end{split}