因為這篇篇幅太長，這邊不多做解釋，簡言而之因為波函數是 even parity，d 和 r 都是 odd parity，一起積分會變成 0所以 \begin{split} I\boldsymbol{d}I&=(|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|)\boldsymbol{d}(|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|)\\ &= (|0\rangle\langle0|\boldsymbol{d}|1\rangle\langle1|)+ (|1\rangle\langle1|\boldsymbol{d}|0\rangle\langle0|) \\ &= \langle0|\boldsymbol{d}|1\rangle|0\rangle\langle1|+\langle1|\boldsymbol{d}|0\rangle|1\rangle\langle0|\\ &=\langle0|\boldsymbol{d}|1\rangle(\sigma+\sigma^\dagger) \end{split} 其中 $\sigma=|0\rangle\langle1|$，所以： \begin{split} H=H^0+H'=\hbar\omega_0\sigma^\dagger\sigma-\langle0|\boldsymbol{d}|1\rangle\cdot\boldsymbol{E}(\sigma+\sigma^\dagger) \end{split} ## Rotating-Wave Approximation 在前面介紹 Rabi 的時候，我們知道電磁場可以寫成 sin 和 cos 的組合，所以 $E$ 會大概長這樣 \begin{split} E&\approx \cos(\omega t)+\sin(\omega t)\\ &\approx e^{-i\omega t}+e^{i\omega t}\\ &= E^++E^- \end{split} 因為 $\boldsymbol{r}_e$ 在量子力學裡是一種觀察量，與時間相關，因此 $\boldsymbol{d}$ 具有這樣的型式： \begin{split} \boldsymbol{d}&\approx e^{-i\omega_0 t}+e^{i\omega_0 t}\\ &=\boldsymbol{d}^+ + \boldsymbol{d}^- \end{split} 因此 $H'$ 會長這樣 \begin{split} H'&=-\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{E}\\ &=-(d^+ + d^+)(E^+ + E^-)\\ &=-d^+\cdot E^+ -d^-\cdot E^- -d^+\cdot E^- - d^-\cdot E^+ \\ &\approx -e^{-i\omega_0t}e^{-i\omega t}- e^{i\omega_0t}e^{i\omega t}- e^{-i\omega_0t}e^{i\omega t}- e^{i\omega_0t}e^{-i\omega t}\\ &=e^{-i(\omega_0+\omega)t}-e^{i(\omega_0+\omega)t}-e^{i(\omega-\omega_0)t}-e^{i(\omega_0-\omega)t} \end{split} 像 Rabi 那章講的，$e^{\pm i(\omega+\omega_0)t}$ 這振動項太快，快到其實我們看不到，所以可以省略，就會變成 \begin{split} H'&\approx -e^{i(\omega-\omega_0)t}-e^{i(\omega_0-\omega)t} \\ &=-d^+ \cdot E^- - d^- \cdot E^+\\ &=-\langle0|\hat{\epsilon}\cdot \boldsymbol{d}|1\rangle(E_0^-\sigma e^{i\omega t}+E^+_0\sigma^\dagger e^{-i\omega t})\\ &=-\frac{\hbar\Omega}{2}(\sigma e^{i\omega t}+\omega^\dagger e^{-i\omega t}) \end{split} 其中 $\Omega$ 是 Rabi 頻率： \begin{split} \Omega=-\frac{2\langle0|\hat{\epsilon}\cdot \boldsymbol{d}|1\rangle E^+_0}{\hbar}= -\frac{\langle0|\hat{\epsilon}\cdot \boldsymbol{d}|1\rangle E_0}{\hbar} \end{split} ## Rotating Frame 好，現在這個 two level system 的量子態為 \begin{split} |\psi\rangle=c_0|0\rangle+c_1|1\rangle \end{split} 代入 Schrodinger 方程式後得到 \begin{split} \frac{\partial}{\partial t}c_0|0\rangle+\frac{\partial}{\partial t}c_1|1\rangle= -i\omega_0c_1|1\rangle-i\frac{\Omega}{2}e^{i\omega t}c_1|0\rangle-i\frac{\Omega}{2}e^{-i\omega t}c_0|1\rangle \end{split} 跟前面 Rabi 的做法一樣，對 $\langle0|$ 和 $\langle1|$ 做內積得到： \begin{split} \frac{\partial c_0}{\partial t}&=-i\frac{\Omega}{2}c_1e^{i\omega t}\\ \frac{\partial c_1}{\partial t}&=-i\omega_0c_1-i\frac{\Omega}{2}c_1e^{-i\omega t} \end{split} 為了方便日後計算，我們定義 \begin{split} \widetilde{c_1}=c_1e^{i\omega t} \end{split} 所以改寫成 \begin{split} \frac{\partial c_0}{\partial t}&=-i\frac{\Omega}{2}\widetilde{c_1}\\ \frac{\partial \widetilde{c_1}}{\partial t}&=i\Delta \widetilde{c_1}-i\frac{\Omega}{2}c_0 \end{split} 其中 $\Delta=\omega-\omega_0$ ## Dressed State 上式可以寫成這樣的矩陣形式 \begin{split} \partial_t \begin{bmatrix} \widetilde{c_1}\\ c_0 \end{bmatrix} =-i \begin{bmatrix} -\frac{\Delta}{2} & \frac{\Omega}{2}\\ \frac{\Omega}{2} & -\frac{\Delta}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \widetilde{c_1}\\ c_0 \end{bmatrix}= -\frac{i}{\hbar}\widetilde{H} \begin{bmatrix} \widetilde{c_1}\\ c_0 \end{bmatrix} \end{split} 這就是一個 eigenvalue and eigenvector 問題，經過一番計算，求出他的能量值為（eigenvalue）： \begin{split} E_{\pm}=-\frac{\hbar\Delta}{2}\pm\frac{\hbar\widetilde{\Omega}}{2} \end{split} 代回去求出量子態（eigenvector，即 dressed state）為： \begin{split} |+\rangle&=\sin{\theta}|0\rangle+\cos{\theta}|1\rangle\\ |-\rangle&=\cos{\theta}|0\rangle-\sin{\theta}|1\rangle \end{split} 其中 $\theta$ 我們稱作 Stücjelberg angle \begin{split} \tan{2\theta}=-\frac{\Omega}{\Delta}\space(0\leq\theta\frac{\pi}{2}) \end{split}
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