第三題：Many-Body Quantum Dynamics | EntangleTech 量子教育平台

# 第三題 Many-body quantum dynamics 這題我們要探討晶格無序（lattice disorder）和粒子-粒子交互作用。一個一開始處於非平衡態的封閉多體量子系統最終會達到平衡狀態，這現象我們稱之為 thermalization。這是統計力學的結果，就像是在沒有受外力影響情況下，桌上的熱咖啡最終會冷卻至跟周圍溫度相同。然而，lattice disorder 的存在會阻止系統演化盡 egodic thermalized 狀態，這種 disorder 和粒子間的交互作用會導致 many-body localization（MBL），讓系統始終保持原本初始的狀態。欲了解更多有關 MBL，可以參看[此處](http://arxiv.org/abs1804.11065。) ## Many-body localization 簡介如下圖，我們有一排的空格，在奇數格放上粒子，偶數格則空，即 $ψ_i=|101010..⟩$，定義粒子數算符為 $〈n ̂(x)〉=1,0,1,0…$ \（x 為格子座標），經過一段時間後粒子會在格子之間來回穿梭，我們可以預見最終會達成兩種平衡，一個如圖右上角，粒子均勻分配，$〈n ̂(x)〉=0.5,0.5,0.5,0.5…$，系統失去原本初態的所有訊息，這現象稱之為 thermalization 一般情況下，thermalization 後的狀態會滿足 Eigenstate thermalization hypothesis，因此這狀態也被稱為 ETH phase；第二種情況如圖右下角，粒子分佈呈現如 $〈n ̂(x)〉=0.9,0.1,0.9,0.1…$ （數字為舉例），跟一開始的狀態十分接近，仍保留原本初態的訊息，這現象我們稱之為 many-body localization (MBL)，物理學家也把 MBL看成一種新的物相，稱之為 MBL phase。 ![](https://i.imgur.com/fmbah9Z.png) ## 題目解析回顧前面兩題提到的 tight-binding Hamiltonian： $$\frac{H_{tb}}{ℏ}=\sum_{i=0}^{3}(X_iX_{i+1}+Y_iY_{i+1})+\sum_{i}\epsilon_i Z_i$$ 如同第二題，我們可以透過設定 $ϵ_i=W cos⁡(2πβ_i)$ 來模仿系統中的 disorder，其中 W 是 disorder 強度，β 是準晶體（介於晶體和非晶體之間的固體）週期因子。阻礙 thermalization 的原因其中一個是出現不平衡現象。在 thermalized 系統中，我們預期系統達到穩定狀態時，晶格中每一個位置都被平均數量個粒子佔據（見 Box 1）。然而，如果給系統添加 disorder，會產生與 ETH phase 稍微有偏差的結果。一個系統的不平衡程度可以用下列公式做量化： $$I=〈\frac{(N_e-N_o)}{(N_e+N_o )}〉$$ 其中 $N_e$ 和 $N_o$ 代表系統基數位與偶數位的粒子數。對於 thermalized system（即 ETH phase），$I=0$，而 disorder 會對這個值產生偏差（$I≠0$）。
:::danger Challenge question 3a 完成可以產生該量子態的不平衡值的函數 ::: ```python=1 def get_imbalance(state): ###EDIT CODE BELOW ### HINT: MAKE SURE TO SKIP CALCULATING IMBALANCE OF THE |00...0> STATE imbalance_val=0 ###DO NOT EDIT BELOW states_number = len(state.probabilities_dict()) keys = [] values = [] states_imbalance_val = [] for key, value in state.probabilities_dict().items(): keys.append(key) values.append(value) for i in range(len(keys)): even = 0 odd = 0 for j in range(len(keys[i])): if j%2: #odd odd = odd + int(keys[i][j]) else: even = even + int(keys[i][j]) if (odd+even)== 0: state_imbalance = (odd-even) states_imbalance_val.append(state_imbalance) else: state_imbalance = (odd-even)/(odd+even) states_imbalance_val.append(state_imbalance) for k in range(len(states_imbalance_val)): imbalance_val = imbalance_val + states_imbalance_val[k] * values[k] return -imbalance_val ``` 接著，我們要探討量子資訊和糾纏 entropy 如何在系統中增長。在糾纏系統中，忽略會使子系統進入不同數量態之混合態的其他系統，我們可以用 von Neuman entropy 來深入了解子系統 A 和其他系統之間的糾纏程度： $$S_vn (ρ_A )=-tr(ρ_A \ln⁡ρ_A )$$ 在這裡，$ρ_A$ 是子系統 A 的 reduced density matrix。如果子系統 A 跟其他系統是 fully entangled，則 $S_vn (ρ_A )=\ln⁡2$，如果子系統跟其他系統是完全隔開（即純態），則 $S_vn (ρ_A )=0$。讓我們看一個範例： ```python=+ bell_state = qi.Statevector(np.array([0,1,1,0])/np.sqrt(2)) rho_0 = qi.partial_trace(bell_state,[1]) # We trace out qubit 1 rho_1 = qi.partial_trace(bell_state,[0]) # We trace out qubit 0 print('QB0 vn entropy: ', qi.entropy(rho_0, base=np.exp(1))) print('QB1 vn entropy: ', qi.entropy(rho_1, base=np.exp(1))) ``` > QB0 vn entropy: 0.6931471805599454 > QB1 vn entropy: 0.6931471805599454 探討 12 個 qubits 之直鏈的多體量子動力學 ```python=+ t = Parameter(‘t’) ``` ```python=+ num_qubits=12 deltas=[Parameter('delta_{:d}'.format(idx)) for idx in range(num_qubits)] disorder_trot_step=generate_disordered_tb_instruction(t, deltas, num_qubits) ``` ```python=+ # Here we define the disorder pattern beta=(np.sqrt(5)-1)/2 # DO NOT EDIT AA_pattern=np.cos(2*np.pi*beta*np.arange(num_qubits)) # DO NOT EDIT ```
:::danger Challenge question 3b 將 qubits 0, 4, 和 8 設定為 |1⟩ 設定系統初始狀態 ::: ```python=+ delta_t=0.1 time_steps=np.arange(0,21,2) circuits={} Ws=[1,4,10] for W in Ws: disorders=W*AA_pattern circuits[W]=[] for n_steps in time_steps: qr = QuantumRegister(num_qubits) qc = QuantumCircuit(qr) ###EDIT CODE BELOW qc.x(0) qc.x(4) qc.x(8) ###DO NOT EDIT BELOW for _ in range(n_steps): qc.append(disorder_trot_step, [i for i in range(num_qubits)]) if n_steps!=0: qc = qc.bind_parameters({t: delta_t}) qc = qc.bind_parameters({deltas[idx]: disorders[idx] for idx in range(num_qubits)}) circuits[W].append(qc) ```
:::danger Challenge question 3c 計算 qubit 0 於不同 disorder strengths與不同演化時間點的 von Neumann entropy :::
:::danger Challenge question 3d 計算不同 disorder strengths 與不同演化時間點，晶格的不平衡值 ::: ```python=+ state_vector_imbalances={} vn_entropies={} for W in tqdm(Ws): probability_densities[W]=[] state_vector_imbalances[W]=[] vn_entropies[W]=[] for circ in circuits[W]: transpiled_circ=transpile(circ, backend_sim, optimization_level=3) job_sim = backend_sim.run(transpiled_circ) # Grab the results from the job. result_sim = job_sim.result() outputstate = result_sim.get_statevector(transpiled_circ, decimals=6) ps=[] for idx in range(num_qubits): ps.append(np.abs(qi.partial_trace(outputstate,[i for i in range(num_qubits) if i!=idx]))[1,1]**2) entropy=0 ### EDIT CODE BELOW (extract the density matrix of qubit 0 by tracing out all other qubits) rho_3 = qi.partial_trace(outputstate,[i for i in range(1,num_qubits)]) entropy = qi.entropy(rho_3, base=np.exp(1)) ###DO NOT EDIT BELOW imbalance=0 ### EDIT CODE BELOW keys = [] values = [] states_imbalance_val = [] for key, value in outputstate.probabilities_dict().items(): keys.append(key) values.append(value) for i in range(len(keys)): even = 0 odd = 0 for j in range(len(keys[i])): if j%2: #odd odd = odd + int(keys[i][j]) else: even = even + int(keys[i][j]) if (odd+even)== 0: state_imbalance = (odd-even) states_imbalance_val.append(state_imbalance) else: state_imbalance = (odd-even)/(odd+even) states_imbalance_val.append(state_imbalance) for k in range(len(states_imbalance_val)): imbalance = imbalance + states_imbalance_val[k] * values[k] imbalance = -imbalance ###DO NOT EDIT BELOW vn_entropies[W].append(entropy) probability_densities[W].append(ps) state_vector_imbalances[W].append(imbalance) ``` ```python=+ fig, axs = plt.subplots(1,3,figsize=(15,5), facecolor='white', sharey=True) for i,W in enumerate(Ws): ax=axs[i] ax.pcolormesh(np.arange(0,num_qubits,1), time_steps*delta_t ,probability_densities[W]) ax.set_xlabel('Qubit index') ax.set_xticks(np.arange(1,num_qubits+1,1)) axs[0].set_ylabel('Time (1/J)') plt.show() ``` - **隨著時間，每一個 qubit 的機率密度** ![](https://i.imgur.com/HXDldEb.png) - **隨著時間，不同 W 值的 entropy 值** ![](https://i.imgur.com/kX1H3bC.png) - **不同 disorder strength 之系統的不平衡值隨著時間的進展** ![](https://i.imgur.com/zM1Wyjo.png)