測量：讀取計算結果 | EntangleTech 量子教育平台

# 測量在量子計算中，qubit 的量子態處於疊加或糾纏態，過程中我們無法確定每個 qubit 的具體狀態（雖然可以用前面學到的內容推算每個 qubit 的理想狀態，但當 qubits 數量增加時，會越來越難以計算）。只有在計算完成後，對這些 qubits 做「測量」（或說觀測），qubits 的狀態才會出現是 $|0\rangle$ 或是 $|1\rangle$。

測量的符號

例如，考慮以下電路

對初始狀態為 $|0\rangle$ 的 qubit 做 H gate，然後再測量它。在測量前，qubit 處於 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$ 的疊加態： \begin{split} |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle \end{split} 測量後，我們有 50% 的機率看到 qubit 為 $|0\rangle$，50% 的機率看到 $|1\rangle$。然而，只測量一次的話，只會看到 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$，無法知道測量前 qubit 處於什麼狀態。因此，我們會對 qubit 做多次測量，例如 1024 次測量，理論上應該有 512 次測量結果是 $|0\rangle$，另外 512 次是 $|1\rangle$。從這樣的統計結果，可以推測 qubit 在測量前處於疊加態，且機率各一半。

理想情況下，對 qubit 做 1024 次測量，結果會有 512 次測量看 0，另外 512 次看到 1

## 在不同 basis 下測量前面討論的測量是基於 Z-basis，（即熟悉的 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$），對應到 Bloch sphere 北極與南極（Ｚ軸）。

前面介紹的測量結果都是基於 Z-basis，對應到 Bloch sphere 的 Z 軸

不過，沒有規定測量只能在 Z-basis 上進行，Bloch sphere 上任何對應的兩點都可以，我們稱之為 [basis](https://www.entangletech.tw/lesson/math-03)，例如 $|+\rangle$ 與 $|-\rangle$（對應 X 軸），以及 $|i\rangle$ 與 $|-i\rangle$（對應 Y 軸）都可以是測量的 basis。接下來，我們將探討在不同 basis 下的測量結果。假設 qubit 處於如下狀態 \begin{split} |\psi\rangle=\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle \end{split} 以 Z-basis 做測量，有 $\frac{3}{4}$ 的機率看到 $|0\rangle$，$\frac{1}{4}$ 的機率看到 $|1\rangle$。

例子中的量子態在 Bloch 球上的位置，位於 X 軸上方 30 度

如果改用 $|+\rangle$ 與 $|-\rangle$ 為 basis 做測量（從上圖可以看出，藍點所在位置距離 $|+\rangle$ 比較近，可以預期測量到處於 $|+\rangle$ 的機率會比較高）：我們知道 \begin{split} |0\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle+|-\rangle) \\ |1\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle-|-\rangle) \end{split} 將其代入剛剛的式子 \begin{split} |\psi\rangle&=\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle \\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle+|-\rangle)+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle-|-\rangle) \\ &=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}|+\rangle+\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt 2}|-\rangle \end{split} 測量後，看到 qubit 為 $|+\rangle$ 的機率為： \begin{split} |\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{\sqrt 3+2}{4} \approx 0.93 =93\% \end{split} 看到 $|-\rangle$ 的機率為： \begin{split} |\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{-\sqrt 3+2}{4} \approx 0.07 =7\% \end{split} 同理，若以 $|i\rangle$ 與 $|-i\rangle$ 為 basis 測量（從圖中可以看出，藍點所在位置與 $|i\rangle$ 和 $|-i\rangle$ 的距離一樣，預期測量到這兩個結果的機率是相同）：我們知道 \begin{split} |0\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|i\rangle+|-i\rangle) \\ |1\rangle=\frac{-i}{\sqrt 2}(|i\rangle-|-i\rangle) \end{split} 將其帶入剛剛的式子 \begin{split} |\psi\rangle&=\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle \\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(|i\rangle+|-i\rangle)+\frac{1}{2}\frac{-i}{\sqrt 2}(|i\rangle-|-i\rangle) \\ &=\frac{\sqrt{3}-i}{2\sqrt{2}}|i\rangle+\frac{\sqrt{3}+i}{2\sqrt 2}|-i\rangle \end{split} 測量後，看到 qubit 處於 $|+\rangle$ 的機率是 \begin{split} |\frac{\sqrt{3}-i}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{3+1}{4} = 0.5 =50\% \end{split} 看到 $|-\rangle$ 的機率是 \begin{split} |\frac{\sqrt{3}+i}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{3+1}{4} = 0.5 =50\% \end{split}