量子硬體總論
・第
11
課

附錄 A：雙態系統

作者：
林昱誠（Yu-Cheng Lin）
閱讀時間：
4
分鐘
# 附錄 A：Two-Level System 閱讀本篇文章，須有量子力學基礎，可以參看貓書第 11 章。
圖片內容
今天有個完美的 two level system，低能量對應 $|0\rangle$（波函數 $\psi_0$），高能量對應 $|1\rangle$（波函數 $\psi_1$），兩個能階的能量差 $E_0$ \begin{split}\hat{H}^0\psi_0=E_0\psi_0=E_0|0\rangle \\ \hat{H}^0\psi_1=E_1\psi_1=E_1|1\rangle\end{split} 上述的 $\hat{H}^0$ 是指還沒有外力去影響這系統時的能量（精確講是 unperturbed）。波函數會互相 orthonormal： \begin{split} \langle \psi_0|\psi_1\rangle&=0 ,\space \langle \psi_0|\psi_0\rangle=1 ,\space \langle \psi_1|\psi_1\rangle=1 \\ \langle 0|1\rangle&=0 ,\space \langle 0|0\rangle=1 ,\space \langle 1|1\rangle=1 \end{split} 整個系統的波函數會是這兩個狀態的疊加態 \begin{split} \Psi(0)=c_0\psi_0+c_1\psi_1=c_0|0\rangle+c_1|1\rangle \end{split} 加速隨著時間演化的因素後，上式會變成下式（把 $t=0$ 代入就變成上式） \begin{split} \Psi(t)&=c_0\psi_0e^{-i\frac{E_0 t}{\hbar}}+c_1\psi_1e^{-i\frac{E_1 t}{\hbar}} \\ &= c_0|0\rangle e^{-i\frac{E_0 t}{\hbar}}+c_1 |1\rangle e^{-i\frac{E_1 t}{\hbar}} \end{split} 其中 $|c_0|^2$ 是系統處在 $|0\rangle$ 的機率，$|c_1|^2$ 是系統處在 $|1\rangle$ 的機率，兩個機率總和，理所當然地，是 1： \begin{split} |c_0|^2+|c_1|^2=1 \end{split}

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