在二維座標中，(1,0) 與 (0,1) 兩個向量可以表達所有的向量
向量空間可以有多組 basis，同樣的向量可以改用 (-0.5,1) 和 (1,0.5) 表達
範例：以二維空間的其中一組 basis，$\{(1,0),(0,1)\}$ 為例，試著找到一組 $a_1$ 和 $a_2$ 可以滿足：
\begin{gather*}a_1\cdot(1,0)+a_2\cdot(0,1)=0\end{gather*}
只有 $a_1=a_2=0$ 的情況下才能滿足上述，這時候我們就會說這組 basis $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 是 linear independence。
那如果是 linear dependence 會怎麼樣呢？我們做個舉例
\begin{gather*}a_1\cdot(1,0)+a_2\cdot(0,1)=0\end{gather*}
只有 $a_1=a_2=0$ 的情況下才能滿足上述，這時候我們就會說這組 basis $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 是 linear independence。
範例：
如果以 $\{(1,1),(2,2)\}$ 做為二維空間的 basis，這組向量集合是 linear dependence，因爲 $a_1=a_2=0$ 不是下式的唯一解：
\begin{gather*}a_1\cdot(1,1)+a_2\cdot(2,2)=0\end{gather*}
只要 $a_1=-2a_2$ 都是上式的解（比方說 $a_1=1,a_2=-1$），你可以輕易地發現這組 basis 無法表達二維空間中所有的向量，比方說：
\begin{gather*}(1,3)=a_1\cdot(1,1)+a_2\cdot(2,2)\end{gather*}
如果以 $\{(1,1),(2,2)\}$ 做為二維空間的 basis，這組向量集合是 linear dependence，因爲 $a_1=a_2=0$ 不是下式的唯一解：
\begin{gather*}a_1\cdot(1,1)+a_2\cdot(2,2)=0\end{gather*}
只要 $a_1=-2a_2$ 都是上式的解（比方說 $a_1=1,a_2=-1$），你可以輕易地發現這組 basis 無法表達二維空間中所有的向量，比方說：
\begin{gather*}(1,3)=a_1\cdot(1,1)+a_2\cdot(2,2)\end{gather*}
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