如何操作 Qubit：絕熱通道（Adiabetic passage）

# 如何操作 Qubit：絕熱通道（Adiabetic passage）在上一節中，我們介紹了如何使用 Rabi oscillation 實現量子邏輯閘操作。儘管這種方法有效，但它對雷射關閉時間、頻率和強度等等的控制要求非常精確，很容易受到 noise 的影響。本節將介紹一種稱作 adiabatic passage（絕熱通道）的方法，這種方法在某些方面更為穩健。但在進入該主題前，我們先介紹何謂 "dressed state"。 ## Dressed state 一樣是熟悉的 two level system（TLS），其中兩個狀態之間的能量差為 $\hbar\omega_0$，這時候的量子態（即 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$）稱作 "bared state"。

通常，系統（或說原子）的能級主要由其內在性質決定，外部電場或磁場對能級的影響很小。然而，當電場或磁場的強度足夠大時，系統的能級會發生變化，量子態也因此改變，這時候的量子態，我們稱作 "dressed state"（既做 $|+\rangle$ 與 $|-\rangle$），如下圖所示。

TLS 與光場耦合後，能級發生改變，耦合前的量子態叫做 "bared" state，耦合後的叫 "dressed state"

能級的改變程度，以及量子態會變成什麼，會跟雷射的頻率有關。現在，我們先考慮 TLS 與光沒有交互作用的情況，這時候系統的基態能量（未吸收光子前，$E_g$）為： \begin{split} E_{g}&=\text{TLS}_{|0\rangle}\space+\space\text{photon}\\ &=E_{0}+\hbar\omega \end{split} 這邊的能量是把 TLS 與光子當作一個整體來討論。而系統激發態能量（吸收光子後躍遷到高能階，$E_e$）為： \begin{split} E_{e}&=\text{TLS}_{|1\rangle}\space+\space\text{photon}\\ &=(E_{0}+\hbar\omega_0)+0 \end{split} 接下來，我們將系統的能量與雷射的 detuning （失諧程度，$\Delta$）做圖，detuning 指的是雷射頻率減去系統共振頻率（$\omega-\omega_0$），然後我們把 $E_g$ 能量當作參考點，恆設為 0，所以 $E_e$ 的能量就變成： \begin{split} E_{e}'&=E_e-E_g \\ &=(E_{0}+\hbar\omega_0)-(E_0+\hbar\omega)\\ &=\hbar(\omega_0-\omega)\\ &=-\hbar(\omega-\omega_0)\\ &=-\hbar\Delta \end{split} 畫成圖就會長這樣，可以清楚看到在原點處，即雷射頻率與 TLS 共振頻率一樣時（$\Delta=0$），$E_e$ 與 $E_g$ 能量是一樣。

圖中的深藍線分別為系統基態與激發態能量，隨著雷射 detuning 的變化

現在我們來看當 TLS 與光有交互作用時，系統會變成什麼樣子：

圖中的藍虛線是未耦合的能級，深藍實線是耦合後的能級，能級較高的能量為 E+，對應的量子態為 |+>，能級較低的能量為 E-，對應的量子態為 |->

其中 \begin{split} |+\rangle&=\sin{\theta}|0\rangle+\cos{\theta}|1\rangle\\ |-\rangle&=\cos{\theta}|0\rangle-\sin{\theta}|1\rangle \\ \tan{2\theta}&=-\frac{\Omega}{\Delta}\space(0\leq\theta\frac{\pi}{2}) \end{split} 從圖中可以看到能級在原點處沒有交叉，這種現象稱之為 "anti-cossing"（抗交叉）。也可以看到量子態（與系統能量）會隨著雷射頻率做變化，以低能級 $|-\rangle$ 為例，在圖的最左邊，也就是雷射頻率很小的時候（接近紅光），qubit 會很接近 $|0\rangle$，當雷射頻率慢慢增加（往藍光方向），qubit 的狀態會隨著圖中的藍實線做演化，進入疊加態，最後到最右邊時，qubit 的狀態差不多是 $|1\rangle$。

相信有些讀者會對此感到困惑，想知道為何會這樣，恩...只能說...我們可以用數學解釋這現象是怎麼運作的，至於為什麼會這樣，很難解釋

## Adiabatic Passage 那麼，該如何利用這現象實現量子邏輯閘呢？以 X gate 為例，在上一章我們知道要實現 X gate，就是打一段雷射，然後在指定時間關掉雷射。然而，通過 adiabatic passage，我們可以更穩健地實現這一操作。

如果是原本 qubit 是 1 的話就看高能階那條實線

在上圖中，系統基態（$E_-$）的最左邊代表 qubit 處在 $|0\rangle$，最右邊代表 qubit 處在 $|1\rangle$。一開始，對 qubit 施加遠紅 detuning 的雷射（$\omega<\omega_0$），緩慢地改變雷射頻率。隨著雷射頻率的變化，系統會遵循圖中的實線做演化，從基態轉變為疊加態，最後在雷射頻率達到遠藍 detuning（$\omega>\omega_0$）時，qubit 的狀態從原本的 $|0\rangle$ 演化成 $|1\rangle$，這種方法稱為 "Adiabatic Passage"（絕熱通道）。

Y gate 的作法跟 X gate 類似，差在雷射光相位差是 $\frac{\pi}{2}$。

H gate 則是先施加遠藍 detuning 雷射光，緩慢降低雷射頻率到 anti-cossing 點，那裡就是疊加態。與 Rabi oscillation 不同，絕熱通道方法中雷射頻率不需要控制得那麼精準。只要一開始雷射頻率與 qubit 的共振頻率有一段差距即可，也不用精確控制雷射何時關閉，這邊僅在意的是雷射頻率變化要夠慢，不然系統會從 $E_-$ 穿隧到 $E_+$（或反之）。

在某些特定邏輯閘，尤其是 two qubit control，像是 SWAP gate，會先調整雷射頻率改變到一個地方後，關掉雷射，打一道雷射做 Rabi oscillation，讓系統躍遷到 E+，接著再透過調整雷射頻率，讓系統狀態跑到我們想要的狀態

然而，實際的量子系統很脆弱，每一次計算都在跟時間賽跑（coherence time），雷射頻率的變化也不能太慢，否則在有限的時間內能做的 gate 數就少，這引出雷射頻率的變化速度的合理範圍問題，這就是著名的 Landau-Zener crossing，有興趣的讀者可以在網路上做搜尋，這邊不做詳細介紹。

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